Die kurze Antwort
Ein fairer Würfel: Jede Zahl von 1 bis 6 hat dieselbe Wahrscheinlichkeit von 1 zu 6. Zwei Würfel: Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Kombinationen (6 x 6), und die Summe 7 entsteht in 6 davon (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), deshalb ist 7 die häufigste Augensumme. Eine 2 oder eine 12 entsteht jeweils nur auf eine Art und fällt im Schnitt einmal in 36 Würfen.
Jede dieser Zahlen kannst du mit dem Würfel auf dieser Seite nachprüfen. Er würfelt 1 bis 12 Würfel auf einmal, bietet W4, W6, W8, W10, W12, W20 und W100, zeigt die Summe und behält die letzten 30 Würfe, damit du siehst, wie sich das Muster bildet.
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Vollständige Tool-Seite öffnenEin Würfel: die Grundlagen
Bei jedem fairen Würfel mit N Seiten hat jede Seite eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu N, und der durchschnittliche Wurf liegt bei (N + 1) / 2. Bis eine bestimmte Zahl auf dem W6 fällt, dauert es im Schnitt 6 Würfe, aber du kannst leicht 10 oder 15 Würfe warten; eine Garantie innerhalb einer festen Zahl von Versuchen gibt es nicht. Die Wahrscheinlichkeit, in 4 Würfen mindestens eine Sechs zu würfeln, liegt bei etwa 51,8 %, also knapp über der Hälfte. Im Frankreich des 17. Jahrhunderts war das eine berühmte Gewinnwette unter Glücksspielern.
| Würfel | Wahrscheinlichkeit jeder Seite | Durchschnittlicher Wurf |
|---|---|---|
| W4 | 25 % | 2,5 |
| W6 | 16,67 % | 3,5 |
| W8 | 12,5 % | 4,5 |
| W10 | 10 % | 5,5 |
| W12 | 8,33 % | 6,5 |
| W20 | 5 % | 10,5 |
| W100 | 1 % | 50,5 |
Augensumme zweier Würfel: die komplette Tabelle
Diese Tabelle brauchen die meisten Brettspieler. Die Spalte "Möglichkeiten" zählt, wie viele der 36 Kombinationen jede Summe ergeben.
| Summe | Möglichkeiten (von 36) | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 2,78 % |
| 3 | 2 | 5,56 % |
| 4 | 3 | 8,33 % |
| 5 | 4 | 11,11 % |
| 6 | 5 | 13,89 % |
| 7 | 6 | 16,67 % |
| 8 | 5 | 13,89 % |
| 9 | 4 | 11,11 % |
| 10 | 3 | 8,33 % |
| 11 | 2 | 5,56 % |
| 12 | 1 | 2,78 % |
Nützliche Werte für zwei Würfel auf einen Blick
- Ein Pasch (beide Würfel zeigen dieselbe Zahl): 6 von 36, also 1 zu 6 (16,67 %).
- Ein bestimmter Pasch, etwa Sechserpasch: 1 zu 36 (2,78 %).
- Mindestens eine Sechs mit zwei Würfeln: 11 von 36 (30,56 %).
- Eine Summe von 7 oder mehr: 21 von 36 (58,33 %).
- Eine Summe von 6, 7 oder 8: 16 von 36 (44,44 %). Deshalb sind Felder mit diesen Zahlen in Spielen wie Catan, die auf der Augensumme zweier Würfel beruhen, besonders wertvoll.
- Dreimal hintereinander Pasch: 1 zu 216 (etwa 0,46 %).
- Die durchschnittliche Augensumme zweier Würfel ist 7.
Tabelle für drei Würfel (3W6)
Mit drei Würfeln gibt es 216 Kombinationen (6 x 6 x 6). Die Kurve nähert sich einer Glockenform: 10 und 11 sind mit je 12,5 % die häufigsten Summen, während für 3 und 18 alle drei Würfel gleich fallen müssen. Pen-and-Paper-Rollenspiele haben genau deshalb 3W6 für die Eigenschaften von Charakteren genutzt: Die meisten Ergebnisse liegen in der Mitte, extreme Werte sind selten.
| Summe | Möglichkeiten (von 216) | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 3 oder 18 | 1 | 0,46 % |
| 4 oder 17 | 3 | 1,39 % |
| 5 oder 16 | 6 | 2,78 % |
| 6 oder 15 | 10 | 4,63 % |
| 7 oder 14 | 15 | 6,94 % |
| 8 oder 13 | 21 | 9,72 % |
| 9 oder 12 | 25 | 11,57 % |
| 10 oder 11 | 27 | 12,5 % |
Würfelnotation: W20, 3W6, 2W6+3
Die Würfelnotation stammt aus Rollenspielen wie Dungeons and Dragons oder Das Schwarze Auge und ist heute auch in Brettspielen und Online-Tools verbreitet. Im Deutschen steht W für Würfel, im Englischen d für die. Das Format ist XWY (englisch XdY): X ist die Anzahl der Würfel und Y die Zahl der Seiten. 1W20 (oft nur W20) ist ein zwanzigseitiger Würfel, 3W6 sind drei sechsseitige Würfel, deren Augen addiert werden, und W100 (auch W%) liefert eine Zahl von 1 bis 100.
Ein Modifikator steht am Ende: 2W6+3 heißt, zwei sechsseitige Würfel werfen und 3 dazuzählen, das ergibt einen Bereich von 5 bis 15 mit einem Durchschnitt von 10. Im Würfel oben stellst du dafür Anzahl Würfel auf 2 und Würfel auf W6, würfelst und zählst die 3 selbst zur Summe dazu.
Beim W20 hat jede Zahl glatt 5 %, eine natürliche 20 fällt also im Schnitt einmal in 20 Würfen. Ein Wurf mit Vorteil (zwei W20, der höhere zählt) hebt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 20 auf 9,75 % und die Wahrscheinlichkeit für 11 oder mehr von 50 % auf 75 %. Mit Nachteil (der niedrigere zählt) sinkt dieselbe Chance auf 11 oder mehr auf 25 %.
Sind echte Würfel fair?
Casinowürfel werden mit engen Toleranzen gefertigt, haben scharfe Kanten und bündig ausgefüllte Augen und sind deshalb sehr nahe an fair. Übliche Spielwürfel aus Kunststoff mit abgerundeten Ecken und gebohrten Augen sind etwas ungenauer: Auf der Sechserseite wird mehr Material entfernt als auf der Einserseite, also kann die Sechserseite ein wenig leichter sein. Der Effekt ist klein und spielt beim Familienspiel kaum eine Rolle, aber er ist real.
Billige W20 können ungleichmäßiger sein, mit Luftblasen oder ungleichem Schliff. Ein verbreiteter Test zu Hause: Den Würfel in Salzwasser schwimmen lassen und mehrmals drehen; landet immer wieder dieselbe Seite oben, liegt der Schwerpunkt nicht in der Mitte. Ein digitaler Würfel umgeht die Frage: Jede Seite wird mit einem sicheren Zufallszahlengenerator gewählt und hat genau dieselbe Chance.
Häufige Missverständnisse
- "Jetzt ist eine 6 fällig": Würfel haben kein Gedächtnis. Nach zehn Würfen ohne Sechs liegt die Chance beim nächsten Wurf immer noch bei 1 zu 6.
- "7 ist wahrscheinlich, also kommt die 7 bald": 7 ist die häufigste Summe, fällt aber trotzdem in 5 von 6 Würfen nicht.
- "Pasch heißt, zweimal hintereinander dieselbe Zahl zu würfeln": In den meisten Spielen bedeutet Pasch, dass beide Würfel in einem Wurf dieselbe Zahl zeigen, und das hat eine Chance von 1 zu 6.
- "Größere Würfel bringen bessere Chancen": Ein W20 ist nicht glücklicher als ein W6. Er verteilt nur dieselbe Gesamtwahrscheinlichkeit auf mehr Seiten.